Есть N коробок. Все они открыты. Человек проходит и закрывает каждую вторую коробку. Затем проходит по каждой третей коробки, если она открыта закрывает, если закрыта открывает. Потом по каждой четвёртой и так до N. Сколько коробок останутся открытыми после всех этих действий.

Ответ: Целая часть от (корень N)Почему?У всех чисел от 1 до N (кроме полных квадратов) есть четное (2k) количество делителей - то есть действие <закрыл-открыл> происходит k раз и в результате всё равно коробка открыта остается. А у полных квадратов нечетное количество делителей. Поэтому ответить на этот вопрос это все равно что посчитать сколько полных квадратов есть до N, то есть целая часть корень N.